INTEGRAL DEFINIDA

Se me hace pesada la materia pero estoy viendo videos de youtube para reforzar el tema.

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).
Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:
Propiedades de la integral definida
1 El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
${\int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx}$
Esta propiedad nos puede servir para no operar con signos negativos.
Ejemplo:
${\int_{1}^{5} x^3dx=-\int_{5}^{1}x^3dx}$

2 Si los límites de integración coinciden, la integral definida vale cero.
${\int_{a}^{b} f(x)dx=0}$
En realidad, al tener el mismo límite de integración en ambos extremos no existe ningún área a calcular, es por eso que la integral es igual a cero en este caso.
${\int_{3}^{3} x ^2 dx=0}$

3 Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se puede descomponer como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
${\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b} f(x)dx}$
Al estar el punto c entre a y b sobre el eje de las abcisas, el área limitada por el intervalo [a,b] es la suma de las áreas limitadas por [a,c] y [c,d], lo mismo ocurre con el valor de la integral.
Ejemplo:
Para 7 que pertenece al intervalo [3,10]
${\int_{3}^{10} x^2dx=\int_{3}^{7}x^2dx+\int_{7}^{10} x^2dx}$

4 La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.
${\int_{a}^{b}\left [ f(x)+g(x)\right ]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b} g(x)dx}$
Esta propiedad nos puede servir para no tener expresiones muy largas dentro de una misma integral y así manipular y hacer cálculos más facilmente , o en el otro caso, agrupar expresiones para un cálculo más cómodo.
Ejemplo:
Para ${f(x)=x^2}$ y ${g(x)=x^3}$ ,
${\int_{1}^{10}\left [ x^2+x^3\right ]dx=\int_{1}^{10}x^2dx+\int_{1}^{10} x^3dx}$

5 La integral del producto de una constante k por una función es igual a la constante k multiplicada por la integral de la función.
${\int_{a}^{b} k \cdot f(x)dx=k\cdot \int_{a}^{b}f(x)dx}$
Esto es sacar la constante fuera de la integral.
Ejemplo:
Para la constante k=3
${\int_{1}^{7} 3 \cdot x^5dx=3\cdot \int_{1}^{7}x^5dx}$